题目描述
一家连锁旅馆在全国拥有 $2025$ 个分店，分别编号为 $1$ 至 $2025$。随着节日临近，总部决定为每家分店设定每日客流量的上限，分别记作 $A_1, A_2,\dots , A_{2025}$。这些上限并非随意分配，而是需要满足以下约束条件：
1. $A_1, A_2, \dots, A_{2025}$ 必须是 $1$ 至 $2025$ 的一个排列，即每个 $A_i$ 均是 $1$ 至 $2025$ 之间的整数，且所有 $A_i$ 互不相同。
2. 对于任意分店 $i$ 和 $j$（$1 \leq i, j \leq 2025$，$i$ 可等于 $j$），它们的客流量上限 $A_i$ 和 $A_j$ 的乘积不得超过 $i \times j + 2025$。
这些约束旨在平衡各分店客流压力，确保服务质量和运营稳定性。
现在，请你计算这样的分配方案究竟有多少种。由于答案可能很大，你只需输出其对 $10^9 + 7$ 取余后的结果即可。