题目 4246 - 一元二次方程

### 题目背景众所周知，对一元二次方程 $ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)$，可以用以下方式求实数解： - 计算 $\Delta = b ^ 2 - 4ac$，则: 1. 若 $\Delta < 0$，则该一元二次方程无实数解。 2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}$。例如： - $x ^ 2 + x + 1 = 0$ 无实数解，因为 $\Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0$。 - $x ^ 2 - 2x + 1 = 0$ 有两相等实数解 $x _ {1, 2} = 1$。 - $x ^ 2 - 3x + 2 = 0$ 有两互异实数解 $x _ 1 = 1, x _ 2 = 2$。在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd(a, b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd(12, 18) = 6$。 ### 题目描述现在给定一个一元二次方程的系数 $a, b, c$，其中 $a, b, c$ **均为整数且 $a \neq 0$**。你需要判断一元二次方程 $a x ^ 2 + bx + c = 0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。 **在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：** - 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q > 0$，$\gcd(p, q) = 1$ 且 $v = \frac pq$。 - 若 $q = 1$，**则输出 `{p}`，否则输出 `{p}/{q}`**，其中 `{n}` 代表整数 $n$ 的值； - 例如： - 当 $v = -0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出 `-1/2`； - 当 $v = 0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出 `0`。 **对于方程的求解，分两种情况讨论：** 1. 若 $\Delta = b ^ 2 - 4ac < 0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出 `NO`； 2. 否则 $\Delta \geq 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则： 1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。 2. 否则根据上文公式，$x$ 可以被**唯一**表示为 $x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r$ 的形式，其中： - $q _ 1, q _ 2$ 为有理数，且 $q _ 2 > 0$； - $r$ 为正整数且 $r > 1$，且不存在正整数 $d > 1$ 使 $d ^ 2 \mid r$（即 $r$ 不应是 $d ^ 2$ 的倍数）；此时： 1. 若 $q _ 1 \neq 0$，则按有理数的格式输出 $q _ 1$，并再输出一个加号 `+`； 2. 否则跳过这一步输出；随后： 1. 若 $q _ 2 = 1$，则输出 `sqrt({r})`； 2. 否则若 $q _ 2$ 为整数，则输出 `{q2}*sqrt({r})`； 3. 否则若 $q _ 3 = \frac 1{q _ 2}$ 为整数，则输出 `sqrt({r})/{q3}`； 4. 否则可以证明存在唯一整数 $c, d$ 满足 $c, d > 1, \gcd(c, d) = 1$ 且 $q _ 2 = \frac cd$，此时输出 `{c}*sqrt({r})/{d}`；上述表示中 `{n}` 代表整数 `{n}` 的值，详见样例。如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 `NO`。

一元二次方程

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